limit of a function – 페이지 2

2025년 3월 23일2025년 3월 23일

대학수학 연습문제

함수 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.$이 $x=1$에서 미분가능할 때 $a$, $b$의 값을 구하라.

풀이

함수 $f(x)$가 $x=1$에서 미분가능하면 $x=1$에서 연속이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)$와 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)$는 같다.

$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4$

$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2$

위 식으로부터 $a+4=b+2$가 얻어진다.

또한, $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$과 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$는 같다.

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2$

위 식으로부터 $a=2b+2$가 얻어진다.

두 식 $a+4=b+2$와 $a=2b+2$로부터 $a$와 $b$를 구한다.

$2b+2+4=b+2$

$b=-4$

$a=2\cdot(-4)+2=-6$

따라서 $a=-6$, $b=-4$이다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}$

그런데

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}$

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 $\displaystyle f'(1)$은 존재하지 않는다.

2025년 3월 16일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}g(f(x))$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}g(f(x))=g(f(1))=g(1)=2$

2025년 3월 13일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}=\frac{\sqrt{3+1}}{1-2^2}=-\frac{2}{3}$

2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))=2\cdot1+3\cdot2+1\cdot2$

$\displaystyle=2+6+2=10$

2025년 3월 8일2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

주어진 점 $x=0$에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 $x=0$에서의 연속성을 논하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

$f(0)=1$

$x=0$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 불연속이다.

2025년 3월 5일

대학수학 연습문제

두 함수 $f(x),\:g(x)$가 $f(x)<g(x)$이고,

$$\left[\lim_{x\to a}f(x)g(x)=10,\:\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=7\right]$$

일 때 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)$를 구하라.

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L,\:\lim_{x\to a}g(x)=M$일 때

$LM=10,\:L+M=7$이 성립한다.

식을 풀어보면

$(7-M)M=10$

$7M-M^2=10$

$M^2-7M+10=0$

$(M-2)(M-5)=0$

$M=2,\:5$

$M=2$라면 $L=5$이고, $M=5$라면 $L=2$이다.

그런데 $f(x)<g(x)$이므로 $L<M$이 성립해야 하므로

$L=2, M=5$이다.

따라서

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)=L-M=2-5=-3$

2025년 3월 4일

대학수학 연습문제

다음 함수에 대해 극한을 조사하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$

$$\lim_{x\to\infty}f(x)$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}x^2=\infty$

2025년 3월 3일

대학수학 연습문제

다음 함수에 대해 극한을 조사하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$

$$\lim_{x\to1}f(x)$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x^2=1$

2025년 3월 2일

대학수학 연습문제

다음 함수에 대해 극한을 조사하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$

$$\lim_{x\to0}f(x)$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}x^2-1=0-1=-1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.