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도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=(x^2+x+1)(x^3+1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=(x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’\)
\(\displaystyle=(2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2\)
\(\displaystyle=2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2\)
\(\displaystyle=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)=\frac{(xf)'(f-g)-(xf)(f-g)’}{(f-g)^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(x’f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f(3)+3f'(3))(f(3)-g(3))-(3f(3))(f'(3)-g'(3))}{\{f(3)\}^2-2f(3)g(3)+\{g(3)\}^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+3(3))(2-1)-(3(2))(3-(-2))}{2^2-2(2)(1)+1^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+9)(1)-(6)(3+2)}{4-4+1}=\frac{11-30}{1}=-19\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(3)=\frac{f'(3)g(3)-f(3)g'(3)}{\left\{g(3)\right\}^2}=\frac{3(1)-2(-2)}{1^2}\)
\(\displaystyle=\frac{3+4}{1}=7\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$(2fg)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle(2fg)'(3)=2(fg)'(3)=2(f'(3)g(3)+f(3)g'(3))\)
\(\displaystyle=2(3(1)+2(-2))=2(3-4)=2(-1)=-2\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$(f+2g)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle (f+2g)'(3)=f'(3)+2g'(3)=3+2(-2)=3-4=-1\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\frac{1}{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x} \right)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{-h}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x}\)
\(\displaystyle=\frac{-1}{(x+0)x}=-\frac{1}{x^2}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=x^3$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}(3x^2+3hx+h^2)=(3x^2+3(0)x+(0)^2)\)
\(\displaystyle=3x^2\)
모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy^2+2x^2y,\quad\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$$
을 만족시키는 함수 \(f\)에 대하여 \(f'(2)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+2xh^2+2x^2h-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+2xh^2+2x^2h}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}+\lim_{h\to0}(2xh+2x^2)\)
\(\displaystyle=3+2x(0)+2x^2=2x^2+3\)
\(\displaystyle f'(2)=2(2^2)+3=2(4)+3=8+3=11\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(f(2+h^2)-f(2))}{h^2}\)
\(\displaystyle =f'(2)\lim_{h\to0}h=2\cdot0=0\)