한철수 – 블로그

2025년 5월 16일2025년 5월 16일

대학수학 연습문제

곡선 $x=y-2\sqrt{y}$와 $y$축으로 둘러싸인 부분을 $y$축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하라.

풀이

1. 먼저 $y$축에서의 교점을 구한다.

$0=y-2\sqrt{y}$

$2\sqrt{y}=y$

$4y=y^2$

$y^2-4y=0$

$y(y-4)=0$

$y=0,\;4$

2. 입체의 부피를 구한다.

$\displaystyle\pi\int_0^4(y-2\sqrt{y})^2dy=\int_0^4(y^2-4\sqrt{y}\cdot y+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4\sqrt{y^3}+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4y^{\frac{3}{2}}+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-4\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}+2y^2\right]_0^4$

$\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-\frac{8y^2\sqrt{y}}{5}+2y^2\right]_0^4$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{4^3}{3}-\frac{8(4)^2\sqrt{4}}{5}+2(4)^2\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{64}{3}-\frac{8(4)^2(2)}{5}+32\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{64+96}{3}-\frac{256}{5}\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{160}{3}-\frac{256}{5}\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{800-768}{15}\right)$

$\displaystyle=\frac{32}{15}\pi$

2025년 5월 15일

대학수학 연습문제

높이가 $5$인 어떤 구조물은 높이 $x$에서의 단면이 한 변의 길이가 $30-x^2$인 정사각형이라고 한다. 이때 이 구조물의 부피를 구하라.

풀이

$\displaystyle\int_0^5{(30-x^2)^2}dx=\displaystyle\int_0^5(x^4-60x^2+900)dx$

$\displaystyle=\left[\frac{x^5}{5}-20x^3+900x\right]_0^5$

$\displaystyle=\frac{(5)^5}{5}-20(5)^3+900(5)-\left(\frac{(0)^5}{5}-20(0)^3+900(0)\right)$

$\displaystyle=625-2500+4500=2625$

2025년 5월 14일

대학수학 연습문제

증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.

$$f(x)=\vert x^3-3x\vert$$

풀이

$\displaystyle g(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

$\displaystyle g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline g’ & + & + & + & 0 & – & – & – & 0 & + & + & + \\ \hline g & \nearrow & 0 & \nearrow & 극대 & \searrow & 0 & \searrow & 극소 & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}

$\displaystyle f(-\sqrt{3})=f(0)=f(\sqrt{3})=0$

$\displaystyle f(-1)=\vert (-1)^3-3(-1)\vert=\vert-1+3\vert=2$

$\displaystyle f(1)=\vert (1)^3-3(1)\vert=\vert1-3\vert=2$

$f(x)$는 $x=-1,\;1$에서 극대값은 $2$이고, $x=-\sqrt{-3},\;0,\;\sqrt{3}$에서 극소값은 $0$이다.

2025년 5월 13일

대학수학 연습문제

증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.

$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$

풀이

$\displaystyle f'(x)=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$

$\displaystyle=\frac{x^2+1-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}$

$\displaystyle=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=-\frac{(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow \end{array}

$\displaystyle f(-1)=\frac{-1}{(-1)^2+1}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle f(1)=\frac{1}{(1)^2+1}=\frac{1}{2}$

$x=-1$에서 극소값은 $\displaystyle-\frac{1}{2}$이고, $x=1$에서 극대값은 $\displaystyle\frac{1}{2}$이다.

2025년 5월 12일

대학수학 연습문제

증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.

$$f(x)=x^4-\frac{8}{3}x^3+2x^2$$

풀이

$f'(x)=4x^3-8x^2+4x$

$=4x(x^2-2x+1)=4x(x-1)^2$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & 0 & + \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & & \nearrow \end{array}

$\displaystyle f(0)=(0)^4-\frac{8}{3}(0)^3+2(0)^2=0$

$x=0$에서 극소값은 $0$이다.

2025년 5월 12일

대학수학 연습문제

증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.

$$f(x)=2x^3-3x^2-36x+14$$

풀이

$f'(x)=6x^2-6x-36$

$=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’ & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}

$f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-36(-2)+14$

$=2(-8)-3(4)-36(-2)+14$

$=-16-12+72+14=58$

$f(3)=2(3)^3-3(3)^2-36(3)+14$

$=2(27)-3(9)-36(3)+14$

$=54-27-108+14=-67$

$x=-2$에서 극대값은 $58$이고, $x=3$에서 극소값은 $-67$이다.

2025년 5월 11일