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주어진 점 \(x=0\)에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 \(x=0\)에서의 연속성을 논하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0\)
\(f(0)=1\)
좌극한과 우극한이 서로 다르다.
따라서 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이다.
두 함수 \(f(x),\:g(x)\)가 \(f(x)<g(x)\)이고,
$$\left[\lim_{x\to a}f(x)g(x)=10,\:\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=7\right]$$
일 때 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L,\:\lim_{x\to a}g(x)=M\)일 때
\(LM=10,\:L+M=7\)이 성립한다.
식을 풀어보면
\((7-M)M=10\)
\(7M-M^2=10\)
\(M^2-7M+10=0\)
\((M-2)(M-5)=0\)
\(M=2,\:5\)
\(M=2\)라면 \(L=5\)이고, \(M=5\)라면 \(L=2\)이다.
그런데 \(f(x)<g(x)\)이므로 \(L<M\)이 성립해야 하므로
\(L=2, M=5\)이다.
따라서
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)=L-M=2-5=-3\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}x^2=\infty\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to1}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x^2=1\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to0}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}x^2-1=0-1=-1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to0-}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}x^2-1=0-1=-1\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$$
풀이
코사인 함수의 값은 -1부터 1까지로 그 값이 제한되므로
\(\displaystyle-1<\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}<1\)이다.
그리고 \(\displaystyle\lim_{x\to0}x=0\)이기 때문에
\(\displaystyle\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}=0\cdot\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}=0\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{0}{0}\)꼴이므로 인수분해 후 약분하면,
\(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}\)
\(x>2\)일 때, \(\vert x-2\vert=x-2\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2+}2x-1=2\cdot2-1=3\)
\(x<2\)일 때, \(\vert x-2\vert=-(x-2)\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{-(x-2)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2-}-(2x-1)=-(2\cdot2-1)=-3\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)$$
풀이
무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}{\sqrt{x^2+x}-x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}\)
\(x<0\)일 때, \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert=-x\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+1/x}-1}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{-\sqrt{1+0}-1}=-\frac{1}{2}\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})$$
풀이
\(\infty-\infty\)꼴의 무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-4})(x+\sqrt{x^2-4})}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x^2-(x^2-4))}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4}{1+\sqrt{1-4/x^2}}\)
\(\displaystyle=\frac{4}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{4}{2}=2\)
이다.