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다음 극한값을 계산하라.
$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{1}+2}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}\)
다음 극한값을 계산하라.
$$\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)}{x-1}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)\)
\(\displaystyle=1^{2007}+1^{2006}+\cdots+1^2+1^1+1=2008\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\frac{1}{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x} \right)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{-h}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x}\)
\(\displaystyle=\frac{-1}{(x+0)x}=-\frac{1}{x^2}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=x^3$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}(3x^2+3hx+h^2)=(3x^2+3(0)x+(0)^2)\)
\(\displaystyle=3x^2\)
모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy^2+2x^2y,\quad\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$$
을 만족시키는 함수 \(f\)에 대하여 \(f'(2)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+2xh^2+2x^2h-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+2xh^2+2x^2h}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}+\lim_{h\to0}(2xh+2x^2)\)
\(\displaystyle=3+2x(0)+2x^2=2x^2+3\)
\(\displaystyle f'(2)=2(2^2)+3=2(4)+3=8+3=11\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(f(2+h^2)-f(2))}{h^2}\)
\(\displaystyle =f'(2)\lim_{h\to0}h=2\cdot0=0\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^2-4}\)
\(\displaystyle=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x+2)}=1\div \left(f'(2)\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}\right)\)
\(\displaystyle=1\div\left(2\cdot\frac{1}{2+2}\right)=1\div\frac{2}{4}=1\div\frac{1}{2}=2\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)-f(2+h)+f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{-3(f(2-3h)-f(2))}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3f'(2)-f'(2)=-3\cdot2-2=-6-2=-8\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}\)
\(\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)