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\(x^2+y^2=3\)일 때 이계도함수 \(\frac{d^2y}{d^2x}\)를 구하라.
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(2x+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)
이다.
다시 양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{d^2y}{d^2x}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}\)
\(=-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}\)
\(=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\)
\(=-\frac{3}{y^3}\)
이다.
곡선 \(3xy-y^2=2\) 위의 점 \((1,2)\)에서의 접선의 방정식을 구하라.
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(3(xy)’-(y^2)’=0\)
\(3(y+x\frac{dy}{dx})-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\((3x-2y)\frac{dy}{dx}=-3y\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{3y}{3x-2y}\)
이다.
점 \((1,2)\)에서 접선의 기울기는
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,2)}=-\frac{6}{3-4}=6\)
이다.
따라서 점 \((1,2)\)에서 접선의 방정식은
\(y-2=6(x-1)\), 즉, \(y=6x-4\)
이다.
다음 주어진 음함수에 대해 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하라.
$$x^{1/3}+y^{1/3}=1$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{1}{3}x^{-2/3}+\frac{1}{3}y^{-2/3}\cdot\frac{dy}{dx}=0\)
\(y^{-2/3}\cdot\frac{dy}{dx}=-x^{-2/3}\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{-2/3}}{y^{-2/3}}=-\frac{y^{2/3}}{x^{2/3}}=-\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}}\)
이다.
다음 주어진 음함수에 대해 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하라.
$$x^3+y^3=2xy$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=2(y+x\frac{dy}{dx})\)
\(-2x\frac{dy}{dx}+3y^2\frac{dy}{dx}=-3x^2+2y\)
\((-2x+3y^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2+2y\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2-2y}{2x-3y^2}\)
이다.
다음 주어진 음함수에 대해 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하라.
$$y+xy=-3$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(y’+(xy)’=(-3)’\)
\(\frac{dy}{dx}+y+x\cdot\frac{dy}{dx}=0\)
\((x+1)\frac{dy}{dx}=-y\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+1}\)
이다.
다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=\frac{x}{\sqrt{x-2}},\quad(3,3)$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x-2}-x\{(x-2)^{\frac{1}{2}}\}’}{x-2}\)
\(=\frac{\sqrt{x-2}-x(\frac{1}{2}(x-2)^{-\frac{1}{2}})}{x-2}\)
\(=\frac{\frac{2(x-2)-x}{2\sqrt{x-2}}}{x-2}\)
\(=\frac{x-4}{2\sqrt{x-2}\cdot(x-2)}\)
이다.
점 \((3,3)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(3,3)\)를 대입한 것이다.
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(3,3)}=\frac{-1}{2\cdot1\cdot1}=-\frac{1}{2}\)
이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y-3=-\frac{1}{2}(x-3)\), 즉 \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\)이다.
다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=(2x-1)^3(x^2-3),\quad(1,-2)$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{dy}{dx}=\{(2x-1)^3\}'(x^2-3)+(2x-1)^3(x^2-3)’\)
\(=3(2x-1)^2\cdot(2x-1)'(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)
\(=6(2x-1)^2(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)
\(=2(2x-1)^2(3(x^2-3) +x(2x-1)^3)\)
이다.
점 \((1,-2)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(1,-2)\)를 대입한 것이다.
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,-2)}=2(2\cdot1-1)^2(3(1^2-3) +1\cdot(2\cdot1-1)^3)\)
\(=2\cdot1\cdot(3\cdot(-2)+1)=-10\)
이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y+2=-10(x-1)\), 즉 \(y=-10x+8\)이다.
다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt[3]{2x-1}- \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$
풀이
\(\frac{df}{dx}=\{(2x-1)^{\frac{1}{3}}\}’-\{x^{-\frac{2}{3}}\}’\)
\(=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(2x-1)’+\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}\)
\(=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}\)
다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}$$
풀이
\(\frac{df}{dx}=\frac{(x)'(x^2+1)^2-x\{(x^2+1)^2\}’}{\{(x^2+1)^2\}^2}\)
\(=\frac{(x^2+1)^2-x\cdot2(x^2+1)\cdot(x^2+1)’}{(x^2+1)^4}\)
\(=\frac{(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\)
\(=(x^2+1)^{-2}-4x^2(x^2+1)^{-3}\)
다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x^2 + 3x}$$
풀이
\(u=x^2+3x\)라면 \(f(x)=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}\)이므로
\(\frac{df}{du}=\frac{d}{du}u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\)이고
\(\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+3x)=2x+3\)이므로
연쇄법칙에 의해
\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)
\(=(x+\frac{3}{2})(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}\)