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다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}$$
풀이
\(\frac{df}{dx}=\frac{(x)'(x^2+1)^2-x\{(x^2+1)^2\}’}{\{(x^2+1)^2\}^2}\)
\(=\frac{(x^2+1)^2-x\cdot2(x^2+1)\cdot(x^2+1)’}{(x^2+1)^4}\)
\(=\frac{(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\)
\(=(x^2+1)^{-2}-4x^2(x^2+1)^{-3}\)
다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x^2 + 3x}$$
풀이
\(u=x^2+3x\)라면 \(f(x)=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}\)이므로
\(\frac{df}{du}=\frac{d}{du}u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\)이고
\(\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+3x)=2x+3\)이므로
연쇄법칙에 의해
\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)
\(=(x+\frac{3}{2})(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}\)