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2025년 3월 23일2025년 3월 23일

대학수학 연습문제

함수 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.$이 $x=1$에서 미분가능할 때 $a$, $b$의 값을 구하라.

풀이

함수 $f(x)$가 $x=1$에서 미분가능하면 $x=1$에서 연속이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)$와 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)$는 같다.

$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4$

$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2$

위 식으로부터 $a+4=b+2$가 얻어진다.

또한, $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$과 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$는 같다.

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2$

위 식으로부터 $a=2b+2$가 얻어진다.

두 식 $a+4=b+2$와 $a=2b+2$로부터 $a$와 $b$를 구한다.

$2b+2+4=b+2$

$b=-4$

$a=2\cdot(-4)+2=-6$

따라서 $a=-6$, $b=-4$이다.

2025년 3월 22일

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=2x-3,\quad(2,1)$$

풀이

$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2(2+\Delta x)-3-(2\cdot2-3)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4+2\Delta x-3-(4-3)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x+1-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}2=2$

따라서 접선의 방정식은 $y-1=2(x-2)$, 즉 $y=2x-3$이다.

2025년 3월 22일

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=\frac{1}{x},\quad\left(2,\frac{1}{2}\right)$$

풀이

$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}$

$\displaystyle=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}$

따라서 접선의 방정식은

$\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)$, 즉 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1$이다.

2025년 3월 21일2025년 3월 22일

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=x^2+3x,\quad(1,4)$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-(1+3)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+\Delta x^2+3+3\Delta x-4}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x^2+5\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(\Delta x+5)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x+5)=0+5=5$

따라서 접선의 방정식은 $y-4=5(x-1)$, 즉 $y=5x-1$이다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}$

그런데

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}$

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 $\displaystyle f'(1)$은 존재하지 않는다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=\vert x \vert$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vert 1+\Delta x \vert-\vert 1 \vert}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}1=1$

2025년 3월 18일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=ax+b$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a(1+\Delta x)+b-(a+b)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a+a\Delta x+b-a-b}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}a=a$

2025년 3월 17일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=x^2$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x +\Delta x^2-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2 +\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2 +\Delta x)=2+0=2$

2025년 2월 16일2025년 3월 17일

대학수학 연습문제

$x^2+y^2=3$일 때 이계도함수 $\frac{d^2y}{d^2x}$를 구하라.

풀이

양변을 $x$에 대해 미분하면

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

이다.

다시 양변을 $x$에 대해 미분하면

$\frac{d^2y}{d^2x}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}$

$=-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}$

$=-\frac{x^2+y^2}{y^3}$

$=-\frac{3}{y^3}$

이다.

2025년 2월 14일2025년 3월 17일

대학수학 연습문제

곡선 $3xy-y^2=2$ 위의 점 $(1,2)$에서의 접선의 방정식을 구하라.

풀이

양변을 $x$에 대해 미분하면

$3(xy)’-(y^2)’=0$

$3(y+x\frac{dy}{dx})-2y\frac{dy}{dx}=0$

$(3x-2y)\frac{dy}{dx}=-3y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{3y}{3x-2y}$

이다.

점 $(1,2)$에서 접선의 기울기는

$\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,2)}=-\frac{6}{3-4}=6$

이다.

따라서 점 $(1,2)$에서 접선의 방정식은

$y-2=6(x-1)$, 즉, $y=6x-4$

이다.