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다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$$
풀이
코사인 함수의 값은 -1부터 1까지로 그 값이 제한되므로
\(\displaystyle-1<\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}<1\)이다.
그리고 \(\displaystyle\lim_{x\to0}x=0\)이기 때문에
\(\displaystyle\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}=0\cdot\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}=0\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{0}{0}\)꼴이므로 인수분해 후 약분하면,
\(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}\)
\(x>2\)일 때, \(\vert x-2\vert=x-2\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2+}2x-1=2\cdot2-1=3\)
\(x<2\)일 때, \(\vert x-2\vert=-(x-2)\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{-(x-2)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2-}-(2x-1)=-(2\cdot2-1)=-3\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)$$
풀이
무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}{\sqrt{x^2+x}-x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}\)
\(x<0\)일 때, \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert=-x\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+1/x}-1}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{-\sqrt{1+0}-1}=-\frac{1}{2}\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})$$
풀이
\(\infty-\infty\)꼴의 무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-4})(x+\sqrt{x^2-4})}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x^2-(x^2-4))}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4}{1+\sqrt{1-4/x^2}}\)
\(\displaystyle=\frac{4}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{4}{2}=2\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to0+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
풀이
\(\infty-\infty\)꼴이므로 변형하면
\(\displaystyle\lim_{x\to0+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to0+}\left(\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to0+}\frac{1-\sqrt{x}}{x}\)
\(\displaystyle=\frac{1-0}{0}=\infty\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to1}\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{0}{0}\)꼴이므로 분자와 분모에 \(\sqrt{x+3}+2\)를 곱한 후 약분하면
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}(\sqrt{x+3}+2)=\sqrt{1+3}+2=4\)
이다.
\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}\)에 대하여
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=0,\:\lim_{x\to\infty}f(x)=1\)이 되도록 \(a,\:b,\:c,\:d\)를 정하라.
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{ax+b+c/x+d/x^2}{1+1/x-2/x^2}=\frac{ax+b+0+0}{1+0-0}\)
\(\displaystyle=ax+b=1\)
따라서 \(\displaystyle a=0,\:b=1\)이다.
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{0x^3+1x^2+cx+d}{x^2+x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{(x+2)(x-1)}=0\)
위 식에서 \(\displaystyle x^2+cx+d=(x-1)^2=x^2-2x+1\)이다.
따라서 \(\displaystyle c=-2,\:d=1\)이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴이므로 인수분해 후 약분하고, 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누면,
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x-1}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{2+1/x}{1-1/x}=\frac{2+0}{1-0}=2\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-9}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴이므로 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누면,
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-9}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x-3/x^2}{1-9/x^2}=\frac{0-0}{1-0}=0\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{0}{0}\)꼴이므로 인수분해 후 약분하면,
\(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to2}\frac{2x+1}{x-1}=5\)
이다.