함수의 연속성

대학수학 연습문제

주어진 점 $x=0$에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 $x=0$에서의 연속성을 논하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

$f(0)=1$

$x=0$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 불연속이다.

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=x-\lfloor x\rfloor$$

풀이

모든 정수 $n$에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to n+}f(x)=\lim_{x\to n+}(x-\lfloor x\rfloor)=n-n=0$

$\displaystyle\lim_{x\to n-}f(x)=\lim_{x\to n-}(x-\lfloor x\rfloor)=n-(n-1)=1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 모든 정수 $n$에 대해 $x=n$이 불연속점이다.

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=\frac{\vert x+1\vert}{x+1}$$

풀이

실수 $-1$에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)=\lim_{x\to-1+}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1+}\frac{x+1}{x+1}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to-1-}f(x)=\lim_{x\to-1-}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1-}\frac{-(x+1)}{x+1}=-1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $x=-1$이 불연속점이다.

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$$

풀이

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}$

유리함수 $f(x)$의 분모를 $0$으로 만드는 점 $x=-1,\:1$에서는 함수값이 존재하지 않으므로 $x=-1,\:1$은 불연속점이다.