함수의 연속성

2025년 3월 23일2025년 3월 23일

대학수학 연습문제

함수 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.$이 $x=1$에서 미분가능할 때 $a$, $b$의 값을 구하라.

풀이

함수 $f(x)$가 $x=1$에서 미분가능하면 $x=1$에서 연속이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)$와 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)$는 같다.

$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4$

$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2$

위 식으로부터 $a+4=b+2$가 얻어진다.

또한, $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$과 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$는 같다.

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2$

위 식으로부터 $a=2b+2$가 얻어진다.

두 식 $a+4=b+2$와 $a=2b+2$로부터 $a$와 $b$를 구한다.

$2b+2+4=b+2$

$b=-4$

$a=2\cdot(-4)+2=-6$

따라서 $a=-6$, $b=-4$이다.

2025년 3월 8일2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

주어진 점 $x=0$에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 $x=0$에서의 연속성을 논하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

$f(0)=1$

$x=0$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 불연속이다.

2025년 3월 8일

대학수학 연습문제

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=x-\lfloor x\rfloor$$

풀이

모든 정수 $n$에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to n+}f(x)=\lim_{x\to n+}(x-\lfloor x\rfloor)=n-n=0$

$\displaystyle\lim_{x\to n-}f(x)=\lim_{x\to n-}(x-\lfloor x\rfloor)=n-(n-1)=1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 모든 정수 $n$에 대해 $x=n$이 불연속점이다.

2025년 3월 7일

대학수학 연습문제

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=\frac{\vert x+1\vert}{x+1}$$

풀이

실수 $-1$에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)=\lim_{x\to-1+}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1+}\frac{x+1}{x+1}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to-1-}f(x)=\lim_{x\to-1-}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1-}\frac{-(x+1)}{x+1}=-1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $x=-1$이 불연속점이다.

2025년 3월 7일

대학수학 연습문제

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$$

풀이

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}$

유리함수 $f(x)$의 분모를 $0$으로 만드는 점 $x=-1,\:1$에서는 함수값이 존재하지 않으므로 $x=-1,\:1$은 불연속점이다.