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구간 \([-1,3]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)=-2\)이고 \(f'(x)\leq3\)일 때 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.
풀이
평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}\)
\(f'(x)\leq3\)이기 때문에 \(f'(c)\leq3\)이다.
\(\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3\)
\(\displaystyle f(3)+2\leq12\)
\(\displaystyle f(3)\leq10\)
따라서 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값은 \(10\)이다.
다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)를 모두 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]$$
풀이
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0\)
위 식이 만족하는 \(c\)를 모두 구하면 된다.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)\)
\(\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}\)
\(\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0\)
\(\displaystyle 1-2c=0\)
\(\displaystyle 2c=1\)
\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=\frac{x}{x^2-1}$$
풀이
\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{\{(x+1)(x-1)\}^2}=\frac{2(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)
\(\displaystyle y’=\frac{x'(x^2-1)-x(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-x(2x)}{(x^2-1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right\}\)
\(\displaystyle y'{}’=-\frac{1}{2}\left\{\left\{\frac{1}{(x+1)^2}\right\}’+\left\{\frac{1}{(x-1)^2}\right\}’\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-((x+1)^2)’}{(x+1)^4}+\frac{-((x-1)^2)’}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(x^2+2x+1)’}{(x+1)^4}+\frac{-(x^2-2x+1)’}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(2x+2)}{(x+1)^4}+\frac{-(2x-2)}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}+\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2}{(x+1)^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}\right\}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x-1)^3}\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\{x^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle y'{}’=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=x^3+3x^2-x-1$$
풀이
\(\displaystyle y’=3x^2+6x-1\)
\(\displaystyle y'{}’=6x+6\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=((x^2+1)(x^2+x+1))'(3x-1)\)
\(\displaystyle+(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)’\)
\(\displaystyle=((x^2+1)'(x^2+x+1)+(x^2+1)(x^2+x+1)’)(3x-1)\)
\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)
\(\displaystyle=2x(x^2+x+1)(3x-1)+(x^2+1)(2x+1)(3x-1)\)
\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\left\{\sqrt{x}\right\}’+\left\{\frac{2}{\sqrt{x}}\right\}’=\left\{x^{\frac{1}{2}}\right\}’+\left\{2x^{-\frac{1}{2}}\right\}’\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=(x^2+x+1)(x^3+1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=(x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’\)
\(\displaystyle=(2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2\)
\(\displaystyle=2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2\)
\(\displaystyle=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)=\frac{(xf)'(f-g)-(xf)(f-g)’}{(f-g)^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(x’f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f(3)+3f'(3))(f(3)-g(3))-(3f(3))(f'(3)-g'(3))}{\{f(3)\}^2-2f(3)g(3)+\{g(3)\}^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+3(3))(2-1)-(3(2))(3-(-2))}{2^2-2(2)(1)+1^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+9)(1)-(6)(3+2)}{4-4+1}=\frac{11-30}{1}=-19\)