대학수학 – 페이지 5

2025년 3월 22일

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=\frac{1}{x},\quad\left(2,\frac{1}{2}\right)$$

풀이

$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}$

$\displaystyle=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}$

따라서 접선의 방정식은

$\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)$, 즉 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1$이다.

2025년 3월 21일2025년 3월 22일

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=x^2+3x,\quad(1,4)$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-(1+3)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+\Delta x^2+3+3\Delta x-4}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x^2+5\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(\Delta x+5)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x+5)=0+5=5$

따라서 접선의 방정식은 $y-4=5(x-1)$, 즉 $y=5x-1$이다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}$

그런데

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}$

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 $\displaystyle f'(1)$은 존재하지 않는다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=\vert x \vert$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vert 1+\Delta x \vert-\vert 1 \vert}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}1=1$

2025년 3월 18일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=ax+b$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a(1+\Delta x)+b-(a+b)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a+a\Delta x+b-a-b}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}a=a$

2025년 3월 17일

대학수학 연습문제

점 $x=1$에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$$f(x)=x^2$$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x +\Delta x^2-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2 +\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2 +\Delta x)=2+0=2$

2025년 3월 16일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}g(f(x))$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}g(f(x))=g(f(1))=g(1)=2$

2025년 3월 13일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}=\frac{\sqrt{3+1}}{1-2^2}=-\frac{2}{3}$

2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$일 때 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))=2\cdot1+3\cdot2+1\cdot2$

$\displaystyle=2+6+2=10$

2025년 3월 8일2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

주어진 점 $x=0$에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 $x=0$에서의 연속성을 논하라.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

$f(0)=1$

$x=0$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 불연속이다.