[태그:] 대학수학

다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=\frac{x}{\sqrt{x-2}},\quad(3,3)$$

풀이

양변을 \(x\)에 대해 미분하면

\(\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x-2}-x\{(x-2)^{\frac{1}{2}}\}’}{x-2}\)

\(=\frac{\sqrt{x-2}-x(\frac{1}{2}(x-2)^{-\frac{1}{2}})}{x-2}\)

\(=\frac{\frac{2(x-2)-x}{2\sqrt{x-2}}}{x-2}\)

\(=\frac{x-4}{2\sqrt{x-2}\cdot(x-2)}\)

이다.

점 \((3,3)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(3,3)\)를 대입한 것이다.

\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(3,3)}=\frac{-1}{2\cdot1\cdot1}=-\frac{1}{2}\)

이다.

따라서 접선의 방정식은 \(y-3=-\frac{1}{2}(x-3)\), 즉 \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\)이다.

다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

$$y=(2x-1)^3(x^2-3),\quad(1,-2)$$

풀이

양변을 \(x\)에 대해 미분하면

\(\frac{dy}{dx}=\{(2x-1)^3\}'(x^2-3)+(2x-1)^3(x^2-3)’\)

\(=3(2x-1)^2\cdot(2x-1)'(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)

\(=6(2x-1)^2(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)

\(=2(2x-1)^2(3(x^2-3) +x(2x-1)^3)\)

이다.

점 \((1,-2)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(1,-2)\)를 대입한 것이다.

\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,-2)}=2(2\cdot1-1)^2(3(1^2-3) +1\cdot(2\cdot1-1)^3)\)

\(=2\cdot1\cdot(3\cdot(-2)+1)=-10\)

이다.

따라서 접선의 방정식은 \(y+2=-10(x-1)\), 즉 \(y=-10x+8\)이다.

다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt[3]{2x-1}- \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$

풀이

\(\frac{df}{dx}=\{(2x-1)^{\frac{1}{3}}\}’-\{x^{-\frac{2}{3}}\}’\)

\(=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(2x-1)’+\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}\)

\(=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}\)

다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}$$

풀이

\(\frac{df}{dx}=\frac{(x)'(x^2+1)^2-x\{(x^2+1)^2\}’}{\{(x^2+1)^2\}^2}\)

\(=\frac{(x^2+1)^2-x\cdot2(x^2+1)\cdot(x^2+1)’}{(x^2+1)^4}\)

\(=\frac{(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\)

\(=(x^2+1)^{-2}-4x^2(x^2+1)^{-3}\)

다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt{x^2 + 3x}$$

풀이

\(u=x^2+3x\)라면 \(f(x)=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}\)이므로

\(\frac{df}{du}=\frac{d}{du}u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\)이고

\(\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+3x)=2x+3\)이므로

연쇄법칙에 의해

\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)

\(=\frac{1}{2}(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}(2x+3)\)

\(=(x+\frac{3}{2})(x^2+3x)^{-\frac{1}{2}}\)