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도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\frac{1}{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x} \right)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{-h}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x}\)
\(\displaystyle=\frac{-1}{(x+0)x}=-\frac{1}{x^2}\)
도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=x^3$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^3}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}(3x^2+3hx+h^2)=(3x^2+3(0)x+(0)^2)\)
\(\displaystyle=3x^2\)
모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy^2+2x^2y,\quad\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$$
을 만족시키는 함수 \(f\)에 대하여 \(f'(2)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+2xh^2+2x^2h-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+2xh^2+2x^2h}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}+\lim_{h\to0}(2xh+2x^2)\)
\(\displaystyle=3+2x(0)+2x^2=2x^2+3\)
\(\displaystyle f'(2)=2(2^2)+3=2(4)+3=8+3=11\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(f(2+h^2)-f(2))}{h^2}\)
\(\displaystyle =f'(2)\lim_{h\to0}h=2\cdot0=0\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^2-4}\)
\(\displaystyle=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x+2)}=1\div \left(f'(2)\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}\right)\)
\(\displaystyle=1\div\left(2\cdot\frac{1}{2+2}\right)=1\div\frac{2}{4}=1\div\frac{1}{2}=2\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)-f(2+h)+f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{-3(f(2-3h)-f(2))}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3f'(2)-f'(2)=-3\cdot2-2=-6-2=-8\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}\)
\(\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
함수 \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.\)이 \(x=1\)에서 미분가능할 때 \(a\), \(b\)의 값을 구하라.
풀이
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하면 \(x=1\)에서 연속이다.
따라서 \(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)\)와 \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\)는 같다.
\(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2\)
위 식으로부터 \(a+4=b+2\)가 얻어진다.
또한, \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)과 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)는 같다.
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2\)
위 식으로부터 \(a=2b+2\)가 얻어진다.
두 식 \(a+4=b+2\)와 \(a=2b+2\)로부터 \(a\)와 \(b\)를 구한다.
\(2b+2+4=b+2\)
\(b=-4\)
\(a=2\cdot(-4)+2=-6\)
따라서 \(a=-6\), \(b=-4\)이다.
다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=2x-3,\quad(2,1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2(2+\Delta x)-3-(2\cdot2-3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4+2\Delta x-3-(4-3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x+1-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}2=2\)
따라서 접선의 방정식은 \(y-1=2(x-2)\), 즉 \(y=2x-3\)이다.