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다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\{x^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle y'{}’=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=x^3+3x^2-x-1$$
풀이
\(\displaystyle y’=3x^2+6x-1\)
\(\displaystyle y'{}’=6x+6\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=((x^2+1)(x^2+x+1))'(3x-1)\)
\(\displaystyle+(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)’\)
\(\displaystyle=((x^2+1)'(x^2+x+1)+(x^2+1)(x^2+x+1)’)(3x-1)\)
\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)
\(\displaystyle=2x(x^2+x+1)(3x-1)+(x^2+1)(2x+1)(3x-1)\)
\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\left\{\sqrt{x}\right\}’+\left\{\frac{2}{\sqrt{x}}\right\}’=\left\{x^{\frac{1}{2}}\right\}’+\left\{2x^{-\frac{1}{2}}\right\}’\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\)
도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$f(x)=(x^2+x+1)(x^3+1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=(x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’\)
\(\displaystyle=(2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2\)
\(\displaystyle=2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2\)
\(\displaystyle=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle\left(\frac{xf}{f-g}\right)'(3)=\frac{(xf)'(f-g)-(xf)(f-g)’}{(f-g)^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(x’f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f+xf’)(f-g)-(xf)(f’-g’)}{f^2-2fg+g^2}(3)\)
\(\displaystyle=\frac{(f(3)+3f'(3))(f(3)-g(3))-(3f(3))(f'(3)-g'(3))}{\{f(3)\}^2-2f(3)g(3)+\{g(3)\}^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+3(3))(2-1)-(3(2))(3-(-2))}{2^2-2(2)(1)+1^2}\)
\(\displaystyle=\frac{(2+9)(1)-(6)(3+2)}{4-4+1}=\frac{11-30}{1}=-19\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(3)=\frac{f'(3)g(3)-f(3)g'(3)}{\left\{g(3)\right\}^2}=\frac{3(1)-2(-2)}{1^2}\)
\(\displaystyle=\frac{3+4}{1}=7\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$(2fg)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle(2fg)'(3)=2(fg)'(3)=2(f'(3)g(3)+f(3)g'(3))\)
\(\displaystyle=2(3(1)+2(-2))=2(3-4)=2(-1)=-2\)
두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대해
$$f(3)=2,\quad g(3)=1,\quad f'(3)=3,\quad g'(3)=-2$$
일 때 다음을 구하라.
$$(f+2g)'(3)$$
풀이
\(\displaystyle (f+2g)'(3)=f'(3)+2g'(3)=3+2(-2)=3-4=-1\)