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다음 부정적분을 구하라.
$$\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$
풀이
\(\displaystyle\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(x^{-3}-x^{-2}\right)dx\)
\(\displaystyle=\frac{1}{-2}x^{-2}-(-1)x^{-1}+C\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int(2x+1)(3x^2+2)dx$$
풀이
\(\displaystyle\int(2x+1)(3x^2+2)dx=\int(6x^3+3x^2+4x+2)dx\)
\(\displaystyle=\frac{6}{4}x^4+\frac{3}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+2x+C=\frac{3}{2}x^4+x^3+2x^2+2x+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int(x^3+\sqrt{x})dx$$
풀이
\(\displaystyle\int(x^3+\sqrt{x})dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int2dx$$
풀이
\(\displaystyle\int2dx=2x+C\)
구간 \([-1,3]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)=-2\)이고 \(f'(x)\leq3\)일 때 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.
풀이
평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}\)
\(f'(x)\leq3\)이기 때문에 \(f'(c)\leq3\)이다.
\(\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3\)
\(\displaystyle f(3)+2\leq12\)
\(\displaystyle f(3)\leq10\)
따라서 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값은 \(10\)이다.
다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)를 모두 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]$$
풀이
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0\)
위 식이 만족하는 \(c\)를 모두 구하면 된다.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)\)
\(\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}\)
\(\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0\)
\(\displaystyle 1-2c=0\)
\(\displaystyle 2c=1\)
\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)
다음 극한값을 계산하라.
$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{1}+2}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}\)
다음 극한값을 계산하라.
$$\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)}{x-1}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)\)
\(\displaystyle=1^{2007}+1^{2006}+\cdots+1^2+1^1+1=2008\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=\frac{x}{x^2-1}$$
풀이
\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{\{(x+1)(x-1)\}^2}=\frac{2(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)
\(\displaystyle y’=\frac{x'(x^2-1)-x(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-x(2x)}{(x^2-1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right\}\)
\(\displaystyle y'{}’=-\frac{1}{2}\left\{\left\{\frac{1}{(x+1)^2}\right\}’+\left\{\frac{1}{(x-1)^2}\right\}’\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-((x+1)^2)’}{(x+1)^4}+\frac{-((x-1)^2)’}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(x^2+2x+1)’}{(x+1)^4}+\frac{-(x^2-2x+1)’}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(2x+2)}{(x+1)^4}+\frac{-(2x-2)}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}+\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}\right\}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2}{(x+1)^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}\right\}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x-1)^3}\)
다음 함수의 이계도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\{x^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle y'{}’=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)