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주어진 점 \(x=0\)에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 \(x=0\)에서의 연속성을 논하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0\)
\(f(0)=1\)
좌극한과 우극한이 서로 다르다.
따라서 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이다.
실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.
$$f(x)=x-\lfloor x\rfloor$$
풀이
모든 정수 \(n\)에 대해
\(\displaystyle\lim_{x\to n+}f(x)=\lim_{x\to n+}(x-\lfloor x\rfloor)=n-n=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to n-}f(x)=\lim_{x\to n-}(x-\lfloor x\rfloor)=n-(n-1)=1\)
이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.
따라서 모든 정수 \(n\)에 대해 \(x=n\)이 불연속점이다.
실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.
$$f(x)=\frac{\vert x+1\vert}{x+1}$$
풀이
실수 \(-1\)에 대해
\(\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)=\lim_{x\to-1+}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1+}\frac{x+1}{x+1}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-1-}f(x)=\lim_{x\to-1-}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1-}\frac{-(x+1)}{x+1}=-1\)
이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.
따라서 \(x=-1\)이 불연속점이다.
실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.
$$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$$
풀이
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}\)
유리함수 \(f(x)\)의 분모를 \(0\)으로 만드는 점 \(x=-1,\:1\)에서는 함수값이 존재하지 않으므로 \(x=-1,\:1\)은 불연속점이다.
두 함수 \(f(x),\:g(x)\)가 \(f(x)<g(x)\)이고,
$$\left[\lim_{x\to a}f(x)g(x)=10,\:\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=7\right]$$
일 때 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L,\:\lim_{x\to a}g(x)=M\)일 때
\(LM=10,\:L+M=7\)이 성립한다.
식을 풀어보면
\((7-M)M=10\)
\(7M-M^2=10\)
\(M^2-7M+10=0\)
\((M-2)(M-5)=0\)
\(M=2,\:5\)
\(M=2\)라면 \(L=5\)이고, \(M=5\)라면 \(L=2\)이다.
그런데 \(f(x)<g(x)\)이므로 \(L<M\)이 성립해야 하므로
\(L=2, M=5\)이다.
따라서
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)=L-M=2-5=-3\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}x^2=\infty\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to1}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x^2=1\)
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to0}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}x^2-1=0-1=-1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
다음 함수에 대해 극한을 조사하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2-1,&x<0\\x,&0\leq x<1\\x^2,&x\geq1\end{array}\right.$$
$$\lim_{x\to0-}f(x)$$
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}x^2-1=0-1=-1\)
이다.
다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$$
풀이
코사인 함수의 값은 -1부터 1까지로 그 값이 제한되므로
\(\displaystyle-1<\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}<1\)이다.
그리고 \(\displaystyle\lim_{x\to0}x=0\)이기 때문에
\(\displaystyle\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}=0\cdot\lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x}=0\)
이다.