함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(f(2+h^2)-f(2))}{h^2}\)
\(\displaystyle =f'(2)\lim_{h\to0}h=2\cdot0=0\)
대학수학 연습문제
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^2-4}\)
\(\displaystyle=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x+2)}=1\div \left(f'(2)\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}\right)\)
\(\displaystyle=1\div\left(2\cdot\frac{1}{2+2}\right)=1\div\frac{2}{4}=1\div\frac{1}{2}=2\)
대학수학 연습문제
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}$$
풀이
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)-f(2+h)+f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{-3(f(2-3h)-f(2))}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle=-3f'(2)-f'(2)=-3\cdot2-2=-6-2=-8\)
대학수학 연습문제
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}\)
\(\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
대학수학 연습문제
함수 \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.\)이 \(x=1\)에서 미분가능할 때 \(a\), \(b\)의 값을 구하라.
풀이
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하면 \(x=1\)에서 연속이다.
따라서 \(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)\)와 \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\)는 같다.
\(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2\)
위 식으로부터 \(a+4=b+2\)가 얻어진다.
또한, \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)과 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)는 같다.
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2\)
위 식으로부터 \(a=2b+2\)가 얻어진다.
두 식 \(a+4=b+2\)와 \(a=2b+2\)로부터 \(a\)와 \(b\)를 구한다.
\(2b+2+4=b+2\)
\(b=-4\)
\(a=2\cdot(-4)+2=-6\)
따라서 \(a=-6\), \(b=-4\)이다.
대학수학 연습문제
다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=2x-3,\quad(2,1)$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2(2+\Delta x)-3-(2\cdot2-3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4+2\Delta x-3-(4-3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x+1-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}2=2\)
따라서 접선의 방정식은 \(y-1=2(x-2)\), 즉 \(y=2x-3\)이다.
대학수학 연습문제
다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=\frac{1}{x},\quad\left(2,\frac{1}{2}\right)$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}\)
\(\displaystyle=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}\)
따라서 접선의 방정식은
\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\), 즉 \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1\)이다.
대학수학 연습문제
다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=x^2+3x,\quad(1,4)$$
풀이
\(\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-(1+3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+\Delta x^2+3+3\Delta x-4}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x^2+5\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(\Delta x+5)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x+5)=0+5=5\)
따라서 접선의 방정식은 \(y-4=5(x-1)\), 즉 \(y=5x-1\)이다.
대학수학 연습문제
점 \(x=1\)에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$$
풀이
\(\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}\)
그런데
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 \(\displaystyle f'(1)\)은 존재하지 않는다.
대학수학 연습문제
점 \(x=1\)에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.
$$f(x)=\vert x \vert$$
풀이
\(\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vert 1+\Delta x \vert-\vert 1 \vert}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}1=1\)