도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.
$$y=\sqrt{x}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)