두 함수 \(f(x),\:g(x)\)가 \(f(x)<g(x)\)이고,
$$\left[\lim_{x\to a}f(x)g(x)=10,\:\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=7\right]$$
일 때 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L,\:\lim_{x\to a}g(x)=M\)일 때
\(LM=10,\:L+M=7\)이 성립한다.
식을 풀어보면
\((7-M)M=10\)
\(7M-M^2=10\)
\(M^2-7M+10=0\)
\((M-2)(M-5)=0\)
\(M=2,\:5\)
\(M=2\)라면 \(L=5\)이고, \(M=5\)라면 \(L=2\)이다.
그런데 \(f(x)<g(x)\)이므로 \(L<M\)이 성립해야 하므로
\(L=2, M=5\)이다.
따라서
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-g(x)=L-M=2-5=-3\)