다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}$$
풀이
유리함수이고 \(\frac{0}{0}\)꼴이므로 인수분해 후 약분하면,
\(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-5x+2}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}\)
\(x>2\)일 때, \(\vert x-2\vert=x-2\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2+}2x-1=2\cdot2-1=3\)
\(x<2\)일 때, \(\vert x-2\vert=-(x-2)\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{\vert x-2\vert}=\lim_{x\to2-}\frac{(2x-1)(x-2)}{-(x-2)}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to2-}-(2x-1)=-(2\cdot2-1)=-3\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.