다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})$$
풀이
\(\infty-\infty\)꼴의 무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x(x-\sqrt{x^2-4})=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-4})(x+\sqrt{x^2-4})}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x^2-(x^2-4))}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{4}{1+\sqrt{1-4/x^2}}\)
\(\displaystyle=\frac{4}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{4}{2}=2\)
이다.