구간 \([-1,3]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)=-2\)이고 \(f'(x)\leq3\)일 때 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.
풀이
평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}\)
\(f'(x)\leq3\)이기 때문에 \(f'(c)\leq3\)이다.
\(\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3\)
\(\displaystyle f(3)+2\leq12\)
\(\displaystyle f(3)\leq10\)
따라서 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값은 \(10\)이다.