다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)를 모두 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]$$
풀이
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0\)
위 식이 만족하는 \(c\)를 모두 구하면 된다.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)\)
\(\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}\)
\(\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0\)
\(\displaystyle 1-2c=0\)
\(\displaystyle 2c=1\)
\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)