모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy^2+2x^2y,\quad\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$$
을 만족시키는 함수 \(f\)에 대하여 \(f'(2)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+2xh^2+2x^2h-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+2xh^2+2x^2h}{h}\)
\(\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}+\lim_{h\to0}(2xh+2x^2)\)
\(\displaystyle=3+2x(0)+2x^2=2x^2+3\)
\(\displaystyle f'(2)=2(2^2)+3=2(4)+3=8+3=11\)