함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하고 \(f'(2)=2\)일 때, 다음 극한값을 구하라.
$$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}\)
\(\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)