함수 \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.\)이 \(x=1\)에서 미분가능할 때 \(a\), \(b\)의 값을 구하라.
풀이
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하면 \(x=1\)에서 연속이다.
따라서 \(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)\)와 \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\)는 같다.
\(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2\)
위 식으로부터 \(a+4=b+2\)가 얻어진다.
또한, \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)과 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)는 같다.
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2\)
위 식으로부터 \(a=2b+2\)가 얻어진다.
두 식 \(a+4=b+2\)와 \(a=2b+2\)로부터 \(a\)와 \(b\)를 구한다.
\(2b+2+4=b+2\)
\(b=-4\)
\(a=2\cdot(-4)+2=-6\)
따라서 \(a=-6\), \(b=-4\)이다.