다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=\frac{1}{x},\quad\left(2,\frac{1}{2}\right)$$
풀이
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}\)
\(\displaystyle=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}\)
따라서 접선의 방정식은
\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\), 즉 \(\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1\)이다.