다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=x^2+3x,\quad(1,4)$$
풀이
\(\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-(1+3)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+\Delta x^2+3+3\Delta x-4}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x^2+5\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(\Delta x+5)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x+5)=0+5=5\)
따라서 접선의 방정식은 \(y-4=5(x-1)\), 즉 \(y=5x-1\)이다.