점 \(x=1\)에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.
$$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$$
풀이
\(\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}\)
그런데
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}\)
\(\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}\)
좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 \(\displaystyle f'(1)\)은 존재하지 않는다.