다음 극한을 구하라.
$$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)$$
풀이
무리함수이므로 유리화하면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}{\sqrt{x^2+x}-x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}\)
\(x<0\)일 때, \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert=-x\)이므로
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2(1+1/x)}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}\)
여기서 분모의 최고차항인 \(x\)로 분자와 분모를 나누면
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+1/x}-1}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{-\sqrt{1+0}-1}=-\frac{1}{2}\)
이다.