\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}\)에 대하여
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=0,\:\lim_{x\to\infty}f(x)=1\)이 되도록 \(a,\:b,\:c,\:d\)를 정하라.
풀이
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{ax+b+c/x+d/x^2}{1+1/x-2/x^2}=\frac{ax+b+0+0}{1+0-0}\)
\(\displaystyle=ax+b=1\)
따라서 \(\displaystyle a=0,\:b=1\)이다.
\(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{0x^3+1x^2+cx+d}{x^2+x-2}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{(x+2)(x-1)}=0\)
위 식에서 \(\displaystyle x^2+cx+d=(x-1)^2=x^2-2x+1\)이다.
따라서 \(\displaystyle c=-2,\:d=1\)이다.