곡선 \(3xy-y^2=2\) 위의 점 \((1,2)\)에서의 접선의 방정식을 구하라.
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(3(xy)’-(y^2)’=0\)
\(3(y+x\frac{dy}{dx})-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\((3x-2y)\frac{dy}{dx}=-3y\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{3y}{3x-2y}\)
이다.
점 \((1,2)\)에서 접선의 기울기는
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,2)}=-\frac{6}{3-4}=6\)
이다.
따라서 점 \((1,2)\)에서 접선의 방정식은
\(y-2=6(x-1)\), 즉, \(y=6x-4\)
이다.