다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=\frac{x}{\sqrt{x-2}},\quad(3,3)$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x-2}-x\{(x-2)^{\frac{1}{2}}\}’}{x-2}\)
\(=\frac{\sqrt{x-2}-x(\frac{1}{2}(x-2)^{-\frac{1}{2}})}{x-2}\)
\(=\frac{\frac{2(x-2)-x}{2\sqrt{x-2}}}{x-2}\)
\(=\frac{x-4}{2\sqrt{x-2}\cdot(x-2)}\)
이다.
점 \((3,3)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(3,3)\)를 대입한 것이다.
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(3,3)}=\frac{-1}{2\cdot1\cdot1}=-\frac{1}{2}\)
이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y-3=-\frac{1}{2}(x-3)\), 즉 \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\)이다.