다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
$$y=(2x-1)^3(x^2-3),\quad(1,-2)$$
풀이
양변을 \(x\)에 대해 미분하면
\(\frac{dy}{dx}=\{(2x-1)^3\}'(x^2-3)+(2x-1)^3(x^2-3)’\)
\(=3(2x-1)^2\cdot(2x-1)'(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)
\(=6(2x-1)^2(x^2-3)+(2x-1)^3\cdot2x\)
\(=2(2x-1)^2(3(x^2-3) +x(2x-1)^3)\)
이다.
점 \((1,-2)\)에서의 접선의 기울기는 \(\frac{dy}{dx}\)에 \((x,y)=(1,-2)\)를 대입한 것이다.
\(\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(1,-2)}=2(2\cdot1-1)^2(3(1^2-3) +1\cdot(2\cdot1-1)^3)\)
\(=2\cdot1\cdot(3\cdot(-2)+1)=-10\)
이다.
따라서 접선의 방정식은 \(y+2=-10(x-1)\), 즉 \(y=-10x+8\)이다.